Contoh Soal Cerita Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, seringkali suatu masalah dapat diterjemahkan ke dalam model matematika yang berbentuk sistem persamaan. Sistem persamaan yang diperoleh itu dapat berbentuk SPLDV, SPLTV, atau SPLK. Penyelesaian SPLDV, SPLTV, dan SPLK yang telah dibahas dalam artikel-artikel sebelumnya memegang peranan penting dalam pemecahan masalah tersebut.

Merancang Model Matematika yang Berbentuk SPLTV

Dalam artikel sebelumnya, telah dibahas cara memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk SPLDV. Nah, dalam artikel kali ini akan dijelaskan bagaimana cara memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Untuk tujuan itu, simaklah ilustrasi berikut ini.

Soal Ilustrasi:

Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku.

Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus.

Ali harus membayar Rp4.700.

Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus.

Badar harus membayar Rp4.300

Carli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus.

Carli harus membayar Rp7.100

Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus?

Penyelesaian:

■

Misalkan bahwa:

Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah,

Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah dan

Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah.

■

Dengan demikian, model matematika yang sesuai dnegan data persoalan di atas adalah sebagai berikut.

2x + y + z = 4.700

x + 2y + z = 4.300

3x + 2y + z = 7.100

yaitu merupakan SPLTV dnegan variabel x, y, dan z.

Eliminasi variabel z:

■

Subtitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x
–
 y = 400, sehingga diperoleh:

⇒
 x
–
 y = 400

⇒
 1.400
–
 y = 400

⇒
 y = 1.400
–
 400

⇒
 y = 1.000

■

Subtitusikan nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700, sehingga diperoleh:

⇒
 2x + y + z = 4.700

⇒
 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700

⇒
 2.800 + 1.000 + z = 4.700

⇒
 3.800 + z = 4.700

⇒
 z = 4.700
–
 3.800

⇒
 z = 900

Jadi, harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp1.400, harga untuk sebuah pensil adalah Rp1.000, dan harga untuk sebuah penghapus adalah Rp900.

Nah, agar kalian lebih memahami dan terampil dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan merancang model matematika berbentuk Sistem Persamaan Linier 3 Variabel (SPLTV), silahkan kalian pelajari beberapa contoh soal cerita dan pembahasannya berikut ini.

Soal Cerita 1:

Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu.

Penyelesaian:

Misalkan bilangan itu xyz, x menempati tempat ratusan, y menempati tempat puluhan, dan z menempati tempat satuan. Jadi, nilai bilangan itu 100x + 10y + z. Berdasarkan data pada soal, diperoleh SPLTV sebagai berikut.

x + y + z = 16

x + y = z
–
 2

100x + 10y + z = 21(x + y + z) + 13

Atau bisa kita ubah menjadi bentuk berikut.

x + y + z = 16

x + y
–
 z =
–
2

79x
–
 11y
–
 20z = 13

Sekarang kita eliminasi variabel y dengan cara berikut.

●
 Dari persamaan 1 dan 2

●
 Dari persamaan 1 dan 3

Subtitusikan nilai z = 9 ke persamaan 90x
–
 9z = 189 sehingga diperoleh:

⇒
 90x
–
 9z = 189

⇒
 90x
–
 9(9) = 189

⇒
 90x
–
 81 = 189

⇒
 90x = 189 + 81

⇒
 90x = 270

⇒
 x = 3

Subtitusikan nilai x = 3 dan z = 9 ke persamaan x + y + z = 16 sehingga diperoleh:

⇒
 x + y + z = 16

⇒
 3 + y + 9 = 16

⇒
 y + 12 = 16

⇒
 y = 16
–
 12

⇒
 y = 4

Jadi, karena nilai x = 3, y = 4 dan z = 9 maka bilangan itu adalah 349.

Soal Cerita 2:

Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?

Penyelesaian:

Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

x + 3y + 2z = 33.000

2x + y + z = 23.500

x + 2y + 3z = 36.500

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.

●
 Eliminasi variabel x pada persamaan 1 dan 2

●
 Eliminasi variabel x pada persamaan 2 dan 3

Subtitusikan y = z
–
 3.500 ke persamaam 5y + 3z = 42.500 sehingga diperoleh:

⇒
 5y + 3z = 42.500

⇒
 5(z
–
 3.500) + 3z = 42.500

⇒
 5z
–
 17.500 + 3z = 42.500

⇒
 8z
–
 17.500 = 42.500

⇒
 8z = 42.500 + 17.500

⇒
 8z = 42.500 + 17.500

⇒
 8z = 60.000

⇒
 z = 7.500

Subtitusikan nilai z = 7.500 ke persamaan y = z
–
 3.500 sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

⇒
 y = z
–
 3.500

⇒
 y = 7.500
–
 3.500

⇒
 y = 4.000

Terakhir subtitusikan nilai y = 4.000 dan nilai z = 7.500 ke persamaan x + 3y + 2z = 33.000 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒
 x + 3y + 2z = 33.000

⇒
 x + 3(4.000) + 2(7.500) = 33.000

⇒
 x + 12.000 + 15.000 = 33.000

⇒
 x + 27.000 = 33.000

⇒
 x = 33.000
–
 27.000

⇒
 x = 6.000

Dengan demikian, harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00; harga 1 kg salak adalah Rp4.000,00; dan harga 1 kg apel adalah Rp7.500,00.

Soal Cerita 3:

Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurang empat. Carilah bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian:

Ketiga bilangan adalah a, b, dan c. Ketentuan soal adalah sebagai berikut:

■

Rata-rata ketiga bilangan sama dengan 16 berarti:

(a + b + c)/3 = 16

Apabila kedua ruas kita kalikan 3 maka:

a + b + c = 48

■

Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lain berarti:

b + 20 = a + c

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

a
–
 b + c = 20

■

Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang 4 berarti:

c = a + b
–
 4

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

a + b
–
 c = 4

Sampai sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.

a + b + c = 48

a
–
 b + c = 20

a + b
–
 c = 4

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.

●
 Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 2

●
 Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 3

Subtitusikan nilai b = 14 dan nilai c = 22 ke persamaan a + b
–
 c = 4 sehingga diperoleh nilai a yaitu sebagai berikut.

⇒
 a + b
–
 c = 4

⇒
 a + 14
–
 22 = 4

⇒
 a
–
 8 = 4

⇒
 a = 4 + 8

⇒
 a = 12

Jadi, ketiga bilangan tersebut berturut-turut adalah 12, 14, dan 22.

Soal Cerita 4:

Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angka itu sama dengan 9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya. Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3. Carilah bilangan itu.

Penyelesaian:

Misalkan bilangan yang dimaksud adalah abc, dengan a menempati tempat ratusan, b menempati tempat puluhan dan c menempati tempat satuan. Ketentuan dalam soal adalah sebagai berikut.

■

Jumlah ketiga angka sama dengan 9 berarti:

a + b + c = 9

■

Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya berarti:

100a + 10b + c = 14(a + b + c)

100a + 10b + c = 14a + 14b + 14c

100a
–
 14a + 10b
–
 14b + c
–
 14c = 0

86a
–
 4b
–
 13c = 0

■

Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3 berarti:

c
–
 b
–
 a = 3

atau bisa kita tulis sebagai berikut

a + b
–
 c =
−
3

Dari sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.

a + b + c = 9

86a
–
 4b
–
 13c = 0

a + b
–
 c =
−
3

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode gabungan yaitu sebagai berikut.

●
 Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 2

●
 Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 3

Subtitusikan nilai c = 6 ke persamaan 10a
–
 c = 4 sehingga diperoleh nilai a sebagai berikut.

⇒
 10a
–
 c = 4

⇒
 10a
–
 6 = 4

⇒
 10a = 4 + 6

⇒
 10a = 10

⇒
 a = 1

Terakhir subtitusikan nilai a = 1 dan c = 6 ke persamaan a + b + c = 9 sehingga kita peroleh nilai b sebagai berikut.

⇒
 a + b + c = 9

⇒
 1 + b + 6 = 9

⇒
 b + 7 = 9

⇒
 b = 9
–
 7

⇒
 b = 3

Karena nilai a = 1, b = 3 dan c = 6 maka bilangan tersebut adalah 126.

Soal Cerita 5:

Bentuk kuadrat px
2
 + qx + r mempunyai nilai 1 untuk x = 0, mempunyai nilai 6 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 2 untuk x =
−
1. Carilah nilai p, q, dan r.

Penyelesaian:

Fungsi kuadrat dalam x dituliskan sebagai berikut.

f(x) = px
2
 + qx + r

■

Untuk nilai x = 0 maka f(x) = 1 maka:

f(0) = p(0)
2
 + q(0) + r

1 = r

■

Untuk nilai x = 1 maka f(x) = 6 maka:

f(1) = p(1)
2
 + q(1) + r

6 = p + q + r

Masukkan nilai r = 1 ke persamaan 6 = p + q = r sehingga diperoleh:

⇒
 6 = p + q + r

⇒
 6 = p + q + 1

⇒
 p + q = 5

⇒
 p = 5
–
 q

■

Untuk nilai x =
−
1 maka f(x) = 2 maka:

f(0) = p(
−
1)
2
 + q(
−
1) + r

2 = p
–
 q + r

Subtitusikan persamaan nilai r = 1 dan persamaan p = 5
–
 q ke persamaan 2 = p
–
 q + r sehingga diperoleh:

⇒
 2 = p
–
 q + r

⇒
 2 = (5
–
 q)
–
 q + 1

⇒
 2 = 6
–
 2q

⇒
 2q = 6
–
 2

⇒
 2q = 4

⇒
 q = 2

Terakhir, subtitusikan nilai q = 2 dan nilai r = 1 ke persamaan 2 = p
–
 q + r sehingga kita peroleh nilai p sebagai berikut.

⇒
 2 = p
–
 q + r

⇒
 2 = p
–
 2 + 1

⇒
 2 = p
–
 1

⇒
 p = 2 + 1

⇒
 p = 3

Jadi, nilai p, q, dan r berturut-turut adalah 3, 2, dan 1.