Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya Adalah 3 Dan 1/3 Adalah

Postingan ini membahas cara menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui. Ada dua cara menyusun persamaan kuadrat yaitu memakai faktor dan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar. Misalkan kedua akar persamaan kuadrat adalah x₁
dan x₂
maka menyusun persamaan kuadrat sebagai berikut:

1. (x – x₁) (x – x₂) = 0 (menggunakan cara faktor)
2. x – (x₁
   + x₂) x + x₁
   . x₂
   = 0 (cara menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat)

Untuk cara 2, misalkan bentuk persamaan kuadrat ax²
+ bx + c = 0 maka berlaku hubungan sebagai berikut:

• x₁
  + x₂
  = –
  
  b
  
  a
  
• x₁
  . x₂
  =
  
  c
  
  a
  

Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal cara menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui:

Contoh soal 1

Dengan cara faktor, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui sebagai berikut:

1. 1 dan 4
2. -2 dan 5
3. -3 dan 2

Jawaban soal 1 sebagai berikut:
(x – x₁) (x – x₂) = 0
(x – 1) (x – 4) = 0
x²
– 4x – x + 4 = 0

x²
– 5x + 4 = 0

Jawaban soal 2 sebagai berikut:
(x – (-2)) (x – 5) = 0
(x + 2) (x – 5) = 0
x²
– 5x + 2x – 10 = 0
x²
+ 7x + 10 = 0

Jawaban soal 3 sebagai berikut:
(x – -(3)) (x – 2) = 0
(x + 3) (x – 2) = 0
x²
– 2x + 3x – 6 = 0
x²
+ x – 6 = 0

Contoh soal 2

Dengan cara faktor, tentukan persamaan kuadrat jika akar-akarnya sebagai berikut:

1. 3/4 dan – 4/5
2. – 1/3 dan – 3/5

Pembahasan

Jawaban soal 1 sebagai berikut:

Jawaban soal 2 sebagai berikut:

Contoh soal 3

Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui sebagai berikut:

1. 2 dan 5
2. -1 dan -4
3. (p + 2) dan (p – 2)

Pembahasan

Jawaban soal 1 sebagai berikut:
x²
– (x₁
+ x₂)x + x₁
. x₂
= 0
x²
– (2 + 5)x + 2 . 5 = 0
x²
– 10x + 10 = 0

Jawaban soal 2 sebagai berikut:
x²
– (-1 + (-4))x + -1 . -4 = 0
x²
+ 5x + 4 = 0

Jawaban soal 3 sebagai berikut:
x²
– (x₁
+ x₂) x + x₁
. x₂
= 0
x²
– (p + 2 + p – 2)x + (p + 2) (p – 2) = 0
x²
– 2px + p²
– 2p + 2p – 4 = 0
x²
+ p²
– 2px – 4 = 0

Contoh soal 4

Susunlah akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan kuadrat 2x²
+ 5x – 3 = 0.

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu akar-akar dari 2x²
+ 5x – 3 = 0 dengan cara pemfaktoran.

2x²
+ 5x – 3 = 0
2 x … + … = 5
… x … = -3
Angka yang tepat untuk mengisi titik-titik adalah 3 dan -1 sehingga didapat:
(2x – 1) (x + 3) = 0
x₁
= 1/2 dan x₂
= – 3.

Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya tiga kali (x₁
= 1/2 . 3 = 3/2 dan x₂
= -3 . 3 = -9) sebagai berikut:

Contoh soal 5

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya kuadrat dari persamaan 3x²
+ 7x + 2 = 0.

Pembahasan

Tentukan terlebih dahulu akar-akar persamaan kuadrat 3x²
+ 7x + 2 = 0 dengan cara pemfaktoran.

3x²
+ 7x + 2 = 0
3 x … + … = 7
… x … = 2
Angka yang tepat mengisi titik-titik adalah 2 dan 1 sehingga didapat:
(3x + 1) (x + 2) = 0
x₁
= – 1/3 dan x₂
= – 2)

Kuadrat dari x₁
= (- 1/3)²
= 1/9 dan kuadrat dari x₂
= (-2)²
= 4. Jadi persamaan kuadrat sebagai berikut:

Contoh soal 6

Misalkan x₁
dan x₂
adalah akar-akar persamaan kuadrat dari 2x²
– 6x + 7 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (2x₁
+ 1) dan (2x₂
+ 1)

Pembahasan

Persamaan kuadrat x²
– 6x + 7 = 0 berarti a = 2, b = -6 dan c = 7 sehingga didapat:
x₁
+ x₂
= –

b

a

= –

-6

2

= 3
x₁
. x₂
=

c

a

=

7

2

Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya (2 x₁
+ 1) dan (2 x₂
+ 1) sebagai berikut:

x²
– (x₁
+ x₂)x + x₁
. x₁
= 0
x²
– (2x₁
+ 1 + 2x₂
+ 1)x + (2x₁
+ 1) (2x₂
+ 1)
x²
– (2 (x₁
+ x₂) + 2)x + 4 (x₁
. x₂) + 2(x₁
+ x₂) + 1 = 0
x²
– (2 . 3 + 2)x + 4 . 7/2 + 2 . 3 + 1 = 0
x²
– 8x + 14 + 6 + 1 = 0
x²
– 8x + 21 = 0

Contoh soal 7

Akar-akar persamaan kuadrat x²
– 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2).

Pembahasan

Persamaan kuadrat x²
– 2x + 5 = 0 berarti a = 1, b = -2 dan c = 5 sehingga didapat:

p + q = –

b

a

= 2
p . q =

c

a

=

5

1

= 5

Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) sebagai berikut:

x²
– (x₁
+ x₂)x + x₁
. x₁
= 0
x²
– (p + 2 + q + 2)x + (p + 2) (q + 2) = 0
x²
– (p + q + 4)x + (p . q) + 2 (p + q) + 4 = 0
x²
– (2 + 4)x + (5 + 2 . 2 + 4) = 0
x²
– 6x + 13 = 0